泰勒公式计算

1. 泰勒公式计算

首先你要明白泰勒公式怎么来的，注意到几个常用公式的条件是x趋于零
泰勒公式是将一个在x=x0处具有n阶导数的函数f(x)利用关于(x-x0)的n次多项式来逼近函数的方法。
若函数f(x)在包含x0的某个闭区间[a,b]上具有n阶导数，且在开区间(a,b)上具有(n+1)阶导数，则对闭区间[a,b]上任意一点x，成立下式：

其中， 表示f(x)的n阶导数，等号后的多项式称为函数f(x)在x0处的泰勒展开式，剩余的Rn(x)是泰勒公式的余项，是(x-x0)n的高阶无穷小。
其次  你要知道一些关于O（x^a）的计算，这个了解即可，不用深究，a是某一个常数。看你看的是宇哥的书 ，宇哥的视频里面有讲过这个
最后 再来说一下你的问题所在

第二个为什么只保留O（x^3）而不是O（x^5）呢，看题目问的是和x的几次方等价 ，是不是三次方，五次方次数那么高，很快就趋于零了所以可以省了，还有一个无穷小乘以一个数，就直接按零看了，但是这里并不是说真的为零，可以理解为无限接近，所以省略，起作用的保留到三次就可以了。
考完研的学渣的一点经验之谈

2. 泰勒公式的公式形式

 泰勒公式可以用(无限或者有限)若干项连加式(-级数)来表示一个函数，这些相加的项由函数在某一点(或者加上在临近的一个点的 次导数)的导数求得。对于正整数n，若函数 在闭区间 上 阶连续可导，且在 上 阶可导。任取 是一定点，则对任意 成立下式：  其中， 表示 的n阶导数，多项式称为函数 在a处的泰勒展开式，剩余的 是泰勒公式的余项，是 的高阶无穷小。 泰勒公式的余项 可以写成以下几种不同的形式：1、佩亚诺(Peano）余项： 这里只需要n阶导数存在2、施勒米尔希-罗什(Schlomilch-Roche）余项：其中θ∈（0,1），p为任意正实数。（注意到p=n+1与p=1分别对应拉格朗日余项与柯西余项） 3、拉格朗日（Lagrange）余项：其中θ∈（0,1）。4、柯西（Cauchy）余项：其中θ∈（0,1）。5、积分余项：以上诸多余项事实上很多是等价的。

3. 泰勒公式

泰勒公式是一个用函数在某点信息描述其附近取值的公式，如果函数满足一定的条件，泰勒公式可以用函数在某一点的各阶导数值做系数，构建一个多项式来近似表达这个函数。

4. 泰勒公式

举个例子，cosx = 邻边/斜边，所以cos35°，我们很难求出它的值，最多只能判断出它介于1到(√2)/2之间。
  
 如果我们要较为准确地求出cos35°的话，就可以使用泰勒公式（cos35° = c1 + c2x + c3x^2 + ...），即用多项式来逼近原函数。
  
 可能你会说，cos35°有什么难求的，计算器一键搞定（其实计算器在计算cos35°的时候，也是用了泰勒公式）。
  
 
  
  
 我们归纳一下，总而言之就是：如下图2-1。
  
 
  
                                          
 
  
  
 为什么f(x) = f(x0) + f'(x0)*(x-x0) + f''(x0)/2!*(x-x0)^2 + ... +f(n)(x0)/n!*(x-x0)^n + Rn(x)能近似地表达原函数？泰勒公式的本质到底是什么？
  
 为了回答这个问题，我们需要借助几何工具来直观地理解泰勒公式。
  
 先以展开点 = 0为例（x0 = 0），即麦克劳林公式，也以文章开头提到的cosx为例，即cos0处的泰勒展开。
  
 因为泰勒的原理是用 多项式来逼近原函数 ，所以设：cosx = c1 + c2x + c3x^2 +...（c1、c2、c3...皆为常数）。
  
 现在我们用c1 + c2x + c3x^2 +...这个式子来 层层逼近 cosx在0处的情况。
  
 （1）∵当x=0时cosx的 零阶导数 （即cox自己） = 1 ∴c1 + c2x + c3x^2 +... 的 零阶导数 = 1，推出c1 = 1。
  
 （2）∵当x=0时cosx的 一阶导数  = -sinx = 0 ∴c1 + c2x + c3x^2 +...的 一阶导数  = c2 + 2*c3x +... = 0，推出c2 = 0。
  
 （3）∵当x=0时cosx的 二阶导数  = -cosx = -1 ∴c1 + c2x + c3x^2 +...的 二阶导数  = 2*c3 + 3*c4x +... = 0，推出c3 = 1/2。
  
 （4）以此类推，∵当x=0时cosx的 n阶导数  = a ∴c1 + c2x + c3x^2 +... 的 n阶导数  = a，推出n!*c(n+1) + ...= a，则c(n+1) = a/n!
  
 这种做法的原理是什么呢？就是根据不断地对cosx求导，来获取更多关于cosx的信息，通过这些信息从而模拟出cosx的函数，从而近似计算cosx在某点的值。
  
 
  
                                          
 如图3-1所示：
  
 第（1）步推出c1 = cosx，使得c1 + c2x + c3x^2 +...和cosx在x = 0这个点上的值是一样的。
  
 第（2）步推出c2 = -sinx，使得c1 + c2x + c3x^2 +...和cosx在x = 0这个点上的斜率是一样的，即你递增的时候，我也递增。（为了方便观看，我把蓝线画很直，看着好像不可导，不要在意这个。）
  
 第（3）步推出c3 = -cosx，使得c1 + c2x + c3x^2 +...和cosx在x = 0这个点上的凹凸性是一样的，即你凸起来的地方，我也凸起来。（甚至曲率也是一样的，即曲线的不平坦程度，曲率公式为K = |y''|/(1+y'^2)^(3/2)。）
  
 以此类推，证明了这种做法的原理，就是 通过不断地求导，获取更多的信息，从而逼近原函数 。
  
 现在我不再以展开点 = 0为例，即x0 ≠ 0，这时就不再是麦克劳林公式了，而是真正的泰勒公式。
  
 继续用cosx来当小白鼠，设展开点 = a，即x0 = a，则我们现在就要层层逼近当x = a时cosx的情况。
  
 
  
                                          
 还记得初中的时候，我们初学函数几何，老师教了我们一些东西（旋转和平移），f(x)的几何图形如果 想要往左平移a个单位，则x要减去a ，即f(x)要变成f(a-x)。
  
 如图3-2所示，这就是cosx向左平移了a个单位的结果。
  
 
  
                                          
 和之前的展开点为0的例子一样，只不过这次的展开点为a，但是我们照样也搬用展开点为0的做法，只要我们把cosx向左平移a个单位就好了，即cosx变成了cos(x-a)。
  
 剩下的步骤，我就不一一写出了。
  
 故，麦克劳林公式是长成这样的：f(x) = f(0) + f'(0)x + f''(0)/2!*x^2 + ... + f(n)(0)/n!*x^n + Rn(x)
  
 而，泰勒公式却是长成这样的：f(x) = f(x0) + f'(x0)*(x-x0) + f''(x0)/2!*(x-x0)^2 + ... +f(n)(x0)/n!*(x-x0)^n + Rn(x)

5. 标准泰勒规则的简介

泰勒认为，保持实际短期利率稳定和中性政策立场，当产出缺口为正（负）和通胀缺口超过（低于）目标值时，应提高（降低）实际利率。

6. 标准泰勒规则的介绍

标准泰勒规则（Taylor rule）是常用的简单货币政策规则之一，由斯坦福大学的约翰.泰勒于1993年根据美国货币政策的实际经验，而确定的一种短期利率调整的规则。

7. 泰勒公式

√(1+x)=1+x/2-x^2/(4*2!)+3x^3/(8*3! )-15x^4/(16*4!)+...-(-1)^n* (2n-3)!!/(2^n*n!)* x^n+...
           这里(2n-3)!!=1*3*5*7*..*(2n-3)      是指奇数相乘,            (|x|≤1)
所以√2=1+1/2-1/8+1/16-5/128+....-(-1)^n*(2n-3)!!/(2^n* n!)+....
 
反三角函数：
arctan x = x - x^3/3 + x^5/5 -……(|x|≤1) 
arcsin x = x + 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 + ……(|x|<1)
比如π/4=arctan1=1-1/3+1/5-1/7+.....

8. 泰勒公式

由带有lagrange余项的Taylor展开可知
f(x)在x=0点处有以下展开式
f(x)=f(0)+f'(0)x+[f''(ξ)x²/2!]，其中ξ介于0到x之间。。。。。。。。。。。。①
由题目已知lim【x→0】f(x)/x=1可知
一。lim【x→0】f(x)=0，因为可导，所以在0点连续，因此有f(0)=lim【x→0】f(x)=0
二。由导数定义知f'(0)=lim【x→0】[f(x)-f(0)]/(x-0)=lim【x→0】f(x)/x=1
把一和二的结果代入①中可知
f(x)=x+[f''(ξ)x²/2!]，
因为f''(ξ)>0，所以有
f(x)=x+[f''(ξ)x²/2!]≥x
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